13 Mai 2015

L'équation des gaz parfaits

L'équation des gaz parfaits est un élément majeur de la compréhension du comportement des ballons à gaz.

Les ballons exploitent donc le principe d'Archimède mais également la caractéristique des gaz d'avoir leur produit (pression * volume) égal à leur produit (constante * température). Ce deuxième principe est décrit par l'équation d'état des gaz parfaits (cf. encadré : Equation d’état ; équation des gaz parfaits).

Le poids de l'ensemble {ballon + gaz} dépend du poids de gaz contenu dans l'enveloppe. Si l'on diminue la masse volumique du gaz contenu dans l'enveloppe, le poids de l'ensemble diminue et le ballon peut « flotter dans l'air ».

Comme la pression atmosphérique diminue avec l'altitude, d'environ 1 hPa par 28 pieds (soit environ 8,40 m), la masse d’air déplacé par le ballon diminue. Un point d'équilibre sera atteint lorsque le poids du ballon sera égal au poids de l'air qu'il déplace.

Un autre phénomène entre en ligne de compte : sous l'action de la chaleur, le gaz contenu dans l’enveloppe se dilate. Sa masse volumique diminue : donc, à pression constante, le gaz prend plus de place pour le même poids, ou pèse moins lourd pour le même volume que lorsqu’il est froid.

Comme pour tout gaz, l'état d'équilibre thermodynamique d'un gaz parfait est fixé pour n moles de molécules, par deux paramètres macroscopiques, au choix.

Les autres paramètres peuvent se calculer à partir des deux paramètres choisis par une formule appelée « équation d'état » (cf. encadré : Equation d’état ; équation des gaz parfaits).

Encadré : Equation d’état ; équation des gaz parfaits

L'équation la plus couramment utilisée est l'équation des gaz parfaits, qui est une équation thermoélastique

pV = nRT = NkBT

où :

  • p est la pression (en pascal)
  • V est le volume occupé par le gaz (en mètre cube)
  • n est la quantité de matière, en mole
  • N est le nombre de particules
  • R est la constante des gaz parfaits avec R = 8,314 472 J/K-1.mol-1
    on a en fait R = N.kB où N est le nombre d'Avogadro (6,022×1023) et kB est la constante de Boltzmann (1,38×10-23)
  • T est la température absolue (en kelvin)
Cette équation dérive en fait d'autres lois trouvées auparavant : la loi de Charles, la loi de Boyle-Mariotte et la loi de Gay-Lussac.

Application numérique :

Pour une pression d'une atmosphère (p = p0 = 1,013 25×105 Pa) et une température de 0°C (T = T0 = 273,15 K, température de la glace fondante sous p0), le volume molaire est donc de V0 = 22,413 996 L/mol ; on retient en général la valeur approchée 22,4 L/mol.
Air : 1,204 kg/m3 à 20°, air sec, pression atmosphérique normale (l’air étant un gaz compressible, sa masse volumique est fonction de paramètres comme la température, la pression, etc.)

? (air sec et pression atmosphérique normale (1 013 hPa) : 1,293 + [273/(273 + T(°C)

Ce qui donne les valeurs de l’encadré sur la densité des gaz.